传递函数和频响函数，以及它们彼此之间的关系
Peter Avitabile著，董书伟
当传递函数沿着频率轴求值时，阻尼是零。这意味着系统中没有阻尼吗？让我们来澄清这个令人迷惑的问题。
我发现对很多人来讲这成了一个让人困惑的问题。所以我们来讨论一下这个问题，并解释在这件事上实际发生了什么。因此在这个过程中，作为讨论的一部分，这里我要讨论几个内容。
首先，我们按部分分式形式写出系统传递函数
并且了解对于一个欠阻尼系统，这个函数的根或极点可以写为
因为这个函数是复数的，根将是两个变量σ和ω的函数，它们是根的实部和虚部。分子称为系统传递函数的留数（这么命名是因为它来自于用于对这个函数求值的留数理论）。
现在，当我们画这个函数时，图形将呈现为一个面，因为函数由两个独立的变量，称σ和ω，来定义的。所以如果我们保持σ不变，而改变ω，将会生成一个复数值的矩阵。因为数值是复数的，我们可以分别画出实部和虚部的图，但是我们也能够画出函数的幅值和相位。无论如何，可以按照这些形式中的任何一种画出这个面来描述系统传递函数。
这点如图1所示（来自于Vibrant Technology公司网页）。我们可以讨论系统传递函数的每一个细节，但是为了此处的讨论，我确实想把精力集中于这个函数的幅值。（但我们总要记住这是个复值的函数，有实部和虚部，或者说幅值和相位来描述这个整体函数。）
所以当我们说，我在σ=0求这个函数的值时，我们并不是真的说阻尼是零，而是说这个函数沿着jω轴求值。
图1 系统传递函数
现在如果我们写这个方程，按照这种方法来求值，那么我们可以将频响函数写为
但是如果我们要观察沿着jω轴求值的系统传递函数的幅值，投影沿着那个轴切开的面，我们能够看到如图2所示的图形，它是投射自那个切片。这是我们在FFT分析仪中测量到的 一频响函数。并且我们可以看到只有一个独立的变量ω，用来描述那个函数。我们也可以注意到我们现在只有一条曲线，而不是一个描述系统传递函数的面。
图2 系统传递函数（幅频）及频响函数
所以现在我们有了一种手段，掌握这个频响函数从何而来。现在我想要描述曲面和系统传递函数面。嗯，这个面看上去像个有两个柱子的帐篷，所以我想用这个跟一个婚礼做个类比，关于帐篷下的座椅安排。我们知道座椅安排有两方 一 新娘和新郎（极点和共轭极点）。现在你可以坐在任何一方，取决于你属于婚礼聚会的哪一方。
假设你属于婚宴的新郎方，你坐在头排2座。现在你坐下，向上看，你会观察到帐篷在你头部上方一定高度（在那个特定的σ和ω值位置的幅值）。你也会注意到新娘一方（共轭）在头排2座的位置有一个镜像座位；座位上方的高度在幅值上是一样的。
但是假设其他有人坐在新郎一方的2排3座。现在在这个点上，帐篷的高度比第1种情况还高。另外当然，在新娘一方也有一个镜像座位有相同的高度。
所以这些座位的每一个在座位上方都有特定的帐篷高度。那个高度构成到帐篷的面。但是你注意到在两侧都有一个座位与柱子所在的位置相对应；这与方程的根类似，根是复数共轭对。注意没人可以坐在那儿，没人能真的告诉那个位置的帐篷高度，因为它没有定义；在极点（根）位置不能确定系统传递函数的幅值，因为在那个位置它没有定义。
所以这个帐篷类比是系统传递函数的良好描述。函数的值由座位面上的位置所决定。幅值跟随位置而变。在系统极点或系统根的位置上，系统传递函数没有定义；这是帐篷柱子所在的位置，没人可以坐在那个位置来确定帐篷的幅值或高度。（我们用留数理论对此进行求值。）
另外当然我们都知道第1排是最重要的排。事实上，这就是傅立叶先生落座的地方 一 就是沿着jω轴 一 这是我们从系统传递函数取出来的切面。
图 3 传递函数切片表示法
所以我希望这些简单的例子更好地阐明了系统传递函数、频响函数和他们相互之间的是如何联系的。关于最近的一次婚礼的最后一点话题是邀请伴郎介绍新人亲友团。他做得一直都很好，直到他介绍（第一次）新郎和新娘为约翰和安吉拉 一 这也是最后一次，因为新娘的名字不是安吉拉！好了，扯远了。
如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。
Peter Avitabile教授是美国麻省大学洛威尔校区UMass Lowell机械工程系模态分析和控制实验室的主任。模态空间系列文章的英文原文链接：http://sdasl.uml.edu/umlspace/mspace.html。
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